La distribution normale est la distribution de probabilité qui trace toutes ses valeurs de manière symétrique avec la plupart des résultats situés autour de la moyenne de la probabilité.
Distribution normale (courbe en cloche)
Les ensembles de données (comme la taille de 100 humains, les notes obtenues par 45 élèves dans une classe, etc.) ont tendance à avoir de nombreuses valeurs au même point de données ou dans la même plage. Cette distribution de points de données est appelée la normale ou courbe en cloche Distribution.
Par exemple, dans un groupe de 100 individus, 10 peuvent mesurer moins de 5 pieds, 65 peuvent mesurer entre 5 et 5,5 pieds et 25 peuvent mesurer plus de 5,5 pieds. Cette distribution liée à la plage peut être tracée comme suit :
Image de Sabrina Jiang © Investopedia 2021
De même, les points de données tracés dans des graphiques pour un ensemble de données donné peuvent ressembler à différents types de distributions. Trois des plus courantes sont les distributions alignées à gauche, alignées à droite et mélangées :
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Notez le rouge ligne de tendance dans chacun de ces graphiques. Cela indique approximativement la tendance de la distribution des données. La première, « Distribution alignée à GAUCHE », indique qu’une majorité des points de données se situent dans la plage inférieure. Dans le deuxième graphique « Distribution alignée à DROITE », la majorité des points de données se situent dans la partie supérieure de la plage, tandis que le dernier, « Distribution brouillée », représente un ensemble de données mixtes sans tendance claire.
Il existe de nombreux cas où la distribution des points de données a tendance à se situer autour d’une valeur centrale, et ce graphique montre une distribution normale parfaite, également équilibrée des deux côtés, avec le plus grand nombre de points de données concentrés au centre.
Voici un ensemble de données parfait, distribué normalement :
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La valeur centrale ici est 50 (qui a le plus grand nombre de points de données), et la distribution diminue uniformément vers les valeurs extrêmes de 0 et 100 (qui ont le moins de points de données). La distribution normale est symétrique autour de la valeur centrale avec la moitié des valeurs de chaque côté.
De nombreux exemples concrets correspondent à la distribution de la courbe en cloche :
- Lancez une pièce équitable plusieurs fois (disons 100 fois ou plus) et vous obtiendrez une distribution normale équilibrée de pile et face.
- Lancez une paire de dés équitables plusieurs fois (disons 100 fois ou plus) et le résultat sera une distribution équilibrée et normale centrée autour du chiffre 7 et uniformément dégressif vers les valeurs extrêmes de 2 et 12.
- La taille des individus dans un groupe de taille considérable et les notes obtenues par les personnes d’une classe suivent toutes deux des schémas normaux de distribution.
- En finance, l’évolution du valeurs de journal de devises les taux, les indices de prix et les cours des actions sont supposés être distribués normalement.
Risque et rendement
Tout investissement a deux aspects : le risque et le rendement. Les investisseurs recherchent le risque le plus faible possible pour le rendement le plus élevé possible. La distribution normale quantifie ces deux aspects par la moyenne pour les retours et écart-type pour le risque.
Valeur moyenne ou attendue
Une variation moyenne particulière du prix d’une action pourrait être de 1,5 % sur une base quotidienne, ce qui signifie qu’elle augmente en moyenne de 1,5 %. Cette valeur moyenne ou valeur attendue un rendement significatif peut être obtenu en calculant la moyenne sur un ensemble de données suffisamment grand contenant les variations de prix quotidiennes historiques de ce stock. Plus la moyenne est élevée, mieux c’est.
Écart-type
L’écart-type indique la quantité par laquelle les valeurs s’écartent en moyenne de la moyenne. Plus l’écart-type est élevé, plus l’investissement est risqué, car il conduit à plus d’incertitude.
Voici une représentation graphique de la même chose :
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Par conséquent, la représentation graphique de la distribution normale par sa moyenne et son écart type permet de représenter à la fois les rendements et le risque dans une plage clairement définie.
Il est utile de savoir (et d’être assuré avec certitude) que si un ensemble de données suit le modèle de distribution normale, sa moyenne nous permettra de savoir ce qui revient à attendre, et son écart type nous permettra de savoir qu’environ 68 % des valeurs sera à moins d’un écart-type, 95 % à moins de 2 écarts-types et 99 % des valeurs seront à moins de 3 écarts-types. Un ensemble de données qui a une moyenne de 1,5 et un écart type de 1 est beaucoup plus risqué qu’un autre ensemble de données ayant une moyenne de 1,5 et un écart type de 0,1.
Connaître ces valeurs pour chaque actif sélectionné (c’est-à-dire les actions, les obligations et les fonds) rendra l’investisseur conscient des rendements et des risques attendus.
Il est facile d’appliquer ce concept et de représenter le risque et le rendement d’une seule action, obligation ou fonds. Mais cela peut-il être étendu à un portefeuille d’actifs multiples ?
Les particuliers commencent à négocier en achetant une seule action ou obligation ou en investissant dans un fonds commun de placement. Progressivement, ils ont tendance à augmenter leurs avoirs et à acheter plusieurs actions, fonds ou autres actifs, créant ainsi une portefeuille. Dans ce scénario progressif, les individus construisent leurs portefeuilles sans stratégie ni réflexion préalable. Les gestionnaires de fonds professionnels, les traders et les teneurs de marché suivent une méthode systématique pour construire leur portefeuille en utilisant une approche mathématique appelée théorie moderne du portefeuille (MPT) qui est fondée sur le concept de « distribution normale ».
Théorie moderne du portefeuille
La théorie moderne du portefeuille (MPT) offre une approche mathématique systématique qui vise à maximiser la valeur d’un portefeuille. retour attendu pour un montant donné de risque de portefeuille en sélectionnant les proportions des différents actifs. Alternativement, il offre également de minimiser le risque pour un niveau de rendement attendu donné.
Pour atteindre cet objectif, les actifs à inclure dans le portefeuille ne doivent pas être sélectionnés uniquement en fonction de leur mérite individuel, mais plutôt en fonction de la performance de chaque actif par rapport aux autres actifs du portefeuille.
En un mot, MPT définit la meilleure façon d’atteindre la diversification du portefeuille pour les meilleurs résultats possibles : des rendements maximaux pour un niveau de risque acceptable ou un risque minimal pour un niveau de rendement souhaité.
Les blocs de construction
Le MPT était un concept tellement révolutionnaire lors de son introduction que ses inventeurs ont remporté un prix Noble. Cette théorie a fourni avec succès une formule mathématique pour guider diversification en investissant.
La diversification est un gestion des risques technique, qui supprime le risque « tous les œufs dans le même panier » en investissant dans des actions, des secteurs ou des classes d’actifs. Idéalement, la performance positive d’un actif du portefeuille annulera la performance négative des autres actifs.
Pour prendre le rendement moyen du portefeuille qui a n différents actifs, la combinaison pondérée proportionnellement des constituant les rendements des actifs sont calculés.
En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le rendement global du portefeuille (Rp) est calculé comme suit :
R
p
=
∑
w
je
R
je
R_p=\sum{w_iR_i} Rp=∑wjeRje
La somme (∑), où wje est le poids proportionnel de l’actif i dans le portefeuille, Rje est le rendement (moyen) de l’actif i.
Le risque du portefeuille (ou écart-type) est une fonction des corrélations des actifs inclus, pour toutes les paires d’actifs (les uns par rapport aux autres dans la paire).
En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le risque global du portefeuille (Std-dev)p est calculé comme suit :
(
S
t
ré
−
ré
e
v
)
p
=
s
q
r
t [ ∑ i ∑ j w i w j ( s t d − d e v ) i ( s t d − d e v ) j ( c o r − c o f i j ) ]
\begin{aligned} &\left(Std-dev\right)_p=\\ &sqrt\left[\sum_i\sum_j{w_i}{w_j}\left(std-dev\right)_i\left(std-dev\right)_j\left(cor-cof_{ij}\right)\right]\\ \end{aligné} (Stré−réev)p=sqrt[i∑j∑wiwj(std−dev)i(std−dev)j(cor−cofij)]
Ici, cor-cof est le Coefficient de corrélation entre les rendements des actifs i et j, et sqrt est la racine carrée.
Cela prend soin de la performance relative de chaque actif par rapport à l’autre.
Bien que cela semble mathématiquement complexe, le concept simple appliqué ici inclut non seulement les écarts-types des actifs individuels, mais également ceux qui sont liés les uns aux autres.
Un bon exemple est disponible ici de l’Université de Washington.
Un exemple rapide de MPT
Comme expérience de pensée, imaginons que nous sommes un gestionnaire de portefeuille qui a reçu du capital et est chargé de déterminer le montant du capital à allouer aux deux actifs disponibles (A et B) afin que le rendement attendu soit maximisé et que le risque soit réduit.
Nous avons également les valeurs suivantes disponibles :
Run = 0,175
Rb = 0,055
(Std-dev)un = 0,258
(Std-dev)b = 0,115
(Std-dev)un B = -0,004875
(Cor-cof)un B = -0,164
En commençant par une allocation égale 50-50 à chaque actif A & B, le Rp calcule à 0,115 et (Std-dev)p vient à 0,1323. Une simple comparaison nous indique que pour ce portefeuille de 2 actifs, le rendement ainsi que le risque sont à mi-chemin entre les valeurs individuelles de chaque actif.
Cependant, notre objectif est d’améliorer le rendement du portefeuille au-delà de la simple moyenne de l’un ou l’autre des actifs individuels et de réduire le risque, de sorte qu’il soit inférieur à celui des actifs individuels.
Prenons maintenant un 1.5 l’allocation du capital position dans l’actif A et une position d’allocation de capital de -0,5 dans l’actif B. (Une allocation de capital négative signifie que le stock et le capital reçu sont utilisés pour acheter le surplus de l’autre actif avec une allocation de capital positive. En d’autres termes, nous vendons à découvert l’action B pour 0,5 fois le capital et utilisons cet argent pour acheter l’action A pour un montant de 1,5 fois le capital.)
En utilisant ces valeurs, nous obtenons Rp comme 0,1604 et (Std-dev)p comme 0,4005.
De même, nous pouvons continuer à utiliser différentes pondérations d’allocation aux actifs A et B, et arriver à différents ensembles de Rp et (Std-dev)p. En fonction du rendement souhaité (Rp), on peut choisir le niveau de risque le plus acceptable (std-dev)p. Alternativement, pour le niveau de risque souhaité, on peut sélectionner le meilleur rendement de portefeuille disponible. Quoi qu’il en soit, grâce à ce modèle mathématique de la théorie du portefeuille, il est possible d’atteindre l’objectif de créer un portefeuille efficace avec la combinaison de risque et de rendement souhaitée.
L’utilisation d’outils automatisés permet de détecter facilement et en douceur les meilleures proportions possibles, sans avoir besoin de longs calculs manuels.
La frontière efficientela Modèle d’évaluation des actifs financiers (CAPM) et la tarification des actifs utilisant MPT évoluent également à partir du même modèle de distribution normal et constituent une extension de MPT.
Défis pour MPT (et distribution normale sous-jacente)
Malheureusement, aucun modèle mathématique n’est parfait et chacun présente des insuffisances et des limites.
L’hypothèse de base selon laquelle les rendements boursiers suivent la distribution normale elle-même est remise en question à maintes reprises. Il existe suffisamment de preuves empiriques de cas où les valeurs ne respectent pas la distribution normale supposée. Fonder des modèles complexes sur de telles hypothèses peut conduire à des résultats avec de grands écarts.
En allant plus loin dans MPT, les calculs et les hypothèses sur le coefficient de corrélation et covariance restant fixe (sur la base de données historiques) peut ne pas nécessairement être vrai pour les valeurs futures attendues. Par exemple, les marchés obligataires et boursiers ont montré une corrélation parfaite sur le marché britannique de 2001 à 2004, où les rendements des deux actifs ont baissé simultanément. En réalité, l’inverse a été observé sur de longues périodes historiques antérieures à 2001.
Le comportement des investisseurs n’est pas pris en compte dans ce modèle mathématique. Impôts et coûts de transaction sont négligés, même si l’allocation fractionnée du capital et la possibilité de court-circuiter les actifs sont supposées.
En réalité, aucune de ces hypothèses ne peut se vérifier, ce qui signifie que les rendements financiers réalisés peuvent différer considérablement des bénéfices attendus.
L’essentiel
Les modèles mathématiques fournissent un bon mécanisme pour quantifier certaines variables avec des nombres uniques et traçables. Mais en raison des limites des hypothèses, les modèles peuvent échouer.
La distribution normale, qui constitue la base de la théorie du portefeuille, ne s’applique pas nécessairement aux actions et autres actif financier modèles de prix. La théorie du portefeuille en elle-même comporte de nombreuses hypothèses qui doivent être examinées de manière critique avant de prendre des décisions financières importantes.